2024年10月欧拉函数定义（欧拉定律是什么）

　　⑴欧拉函数定义（欧拉定律是什么

　　⑵欧拉定理（背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。（历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=”，其实大约在年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在年独立地发现了这个公式，并于年发表了它。由于笛卡尔的研究到年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel城，岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，-年的精心指导．欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=这个关系。V-E+F被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数学符号，例如π（年，i（年，e（年，sin和cos（年，tg（年，△x（年，∑（年，f(x)（年)等。年，年仅岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才岁．欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉公式有条（分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=,时式子的值为当r=时值为当r=时值为a+b+c（复数由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ/icosθ=（e＾iθ+e＾-iθ/（三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾=R＾-Rr（多面体设v为顶点数，e为棱数，是面数，则v-e+f=-pp为欧拉示性数，例如p=的多面体叫第零类多面体p=的多面体叫第一类多面体等等其实欧拉公式是有个的，上面说的都是多面体的公式

　　⑶φ()=。欧拉函数定义:对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目;例如:φ()=,因为，，，均和互质。

　　⑷的欧拉函数值为什么是

　　⑸拉函数=,是一个质数,因此欧拉函数的值也就等于,即()=。

　　⑹方法一：用公式。每个数字x可以写成素数的乘积(p)^{a}*(p)^{a}...,其中p,p...等是不同的素数，a,a...等是正整数，那么phi(x)=(p)^{a-}(p-)......举个例子，=……*，而phi()=*(-)*(-)=,确实到这个数中，只有个(,,,)跟互素。m|n,那么m的每个素因子都是n的素因子，代入，展开可以知道phi(mn)=m*phi(n).方法二：用phi(k)的定义：phi(k)是到k中与k互素的数的个数。如果(a,mn)=((x,y)=表示x和y互素,那么(a,n)=；反过来，如果(a,n)=,因为m|n,所以(a,m)=,(a,mn)=.所以(a,n)=当且仅当(a,mn)=。(a)phi(n)是到n中与n互素的数的个数。phi(mn)是到mn中与mn互素的数的个数，根据刚才的结论，(b)phi(mn)是到mn中与n互素的数的个数。比较(a)和(b),phi(mn)=m*phi(n).

　　⑺用F表示欧拉函数，则n=p（rp（rpm（rmF（n=n*（-/p*（-/p*（-/pm，所以F（=*（-/*（-/=。

　　⑻的欧拉函数：varphi()=。

　　⑼分析及过程：在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。

　　⑽e^(ix)=(cosx+isinx)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=，这就是欧拉定理?，它于年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

　　⑾自然数对应的欧拉函数值

　　⑿欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ()被定义为，但是并没有任何实质的意义。定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合φ()=φ(*)=φ()φ()=φ(^)φ(^)=φ()*φ()=(-)*(-)=

　　⒀ψ函数即欧拉函数。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。例如，因为,,,均和互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

　　⒁数学家欧拉的详细资料

　　⒂我粘贴来的哈！莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，年月日～年月日是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。简介欧拉年月日出生于瑞士，在那里受教育。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计卷。欧拉实际上支配了世纪的数学，对于当时新发明的微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼·狄德罗：“先生，(a+b)n/n=x；所以上帝存在，这是回答！”欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。小行星欧拉是为了纪念欧拉而命名的。“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”(阿拉戈语)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。欧拉到底为了多少著作，直至年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大开本至卷。年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(年的钱币约合美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(年问世)已经应用了年，微积分大约年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。那时代数学和三角学已在一个较低的水平土系统化并扩展了。特别是后者已经基本完善。在费马(Fermat)的丢番图分析和一般整数性质的领域里则不可能有任何这样的“暂时的完善“(甚至到现在也还没有)。但就在这方面，欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里，当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。目前时尚轻视“小小算法学家“。然而，当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阔一样不知从什么地方意外来临的时候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。从而使分析学者得到为他们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是“公式主义者“，他们为了公式本身的缘故而喜欢美观的形式。

　　⒃算法里的MOD是什么意思，怎么运算

　　⒄意思就是取模，就是取余数。运算方法：比如mod，余数是，结果就是。