C语言数据结构系列篇二叉树的概念及满二叉树与完全二叉树

　　🔗 链接：C语言数据结构系列之树的概念结构和常见表示方法

　　0x00 概念

　　📚 定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。 它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。

　　📜 一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

　　① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成

　　② 或者为空

　　🔺 观察上图我们可以得出如下结论：

　　① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

　　② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

　　📌 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

　　0x01 满二叉树

　　📚 定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

　　📜 换言之，如果一个二叉树的层数为，且节点总数是 ，则他就是一个满二叉树。

　　🔺 计算公式：

　　① 已知层数求总数：

　　② 已知总数求层数：

　　❓ 十亿个节点，满二叉树是多少层？

　　💡 ≈ 10亿多

　　0x02 完全二叉树

　　📚 定义：对于深度为 的，有个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为的满二叉树中编号从 1 至的结点一一对应时称之为完全二叉树。

　　📜 前 层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。

　　完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

　　📚 常识：

　　① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

　　② 高度为 的完全二叉树节点范围是

　　0x03 二叉树的性质

　　📚 四点规则：

　　① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第 层上最多有 个节点。

　　② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为 的二叉树最大节点数是 .

　　③ 对任何一颗二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为 ，度为 2 的分支节点个数为 ，则有 。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。

　　④ 若规定根节点的层数为 1 ， 具有 个节点的满二叉树的深度 （log是以2为底，n+1的对数）。

　　📚 对于有 个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 的节点有：

　　（非完全二叉树，也可以用数组存放，但会浪费很多空间）

　　假设 是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：

　　① 求左孩子：

　　② 求右孩子：

　　③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）：

　　④ 判断是否有左孩子：

　　⑤ 判断是否由右孩子：

　　💭 PS：二叉树不一定要标准，比如这个其实也是二叉树：

　　课后练习：

　　1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

　　A. 不存在这样的二叉树

　　B. 200

　　C. 198

　　D. 199

　　2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

　　A. n

　　B. n+1

　　C. n-1

　　D. n/2

　　3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

　　A. 11

　　B. 10

　　C. 8

　　D. 12

　　5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

　　A. 383

　　B. 384

　　C. 385

　　D. 386

　　参考资料：

　　Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. .

　　百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/.

　　📌 笔者：王亦优

　　📃 更新： 2021.11.24

　　❌ 勘误： 无

　　📜 声明： 由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

　　本篇完。

　　到此这篇关于C语言数据结构系列篇二叉树的概念及满二叉树与完全二叉树的文章就介绍到这了,更多相关C语言 二叉树的概念内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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